[POJ3744] Scout YYF I（概率, DP, 矩阵优化）

链接：https://cn.vjudge.net/problem/POJ-3744

一个人在一条线上走，线上有n个点有地雷，这个人每次有一定概率$p$走一步，也有$1-p$的概率跳两步。问这个人不踩地雷的概率是多少。

我们根据题意能推出递推式：$f(i)$表示走到$i$处的概率为多少。$f(1)=1$，$f(i)=p×f(i-1)+(1-p)×f(i-2)$。

由于线很长，但是地雷很少。我们观察这个递推式是线性的，于是可以用矩阵快速幂优化，构造矩阵：

$$\begin{pmatrix}f(n)\f(n-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p&1-p\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}f(n-1)\f(n-2)\end{pmatrix}$$
对于每一个雷的位置进行分段，计算到那个地方不踩中的概率，递推所有段走到雷处不中的概率，用乘法原理就能求出来结果了。

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typedef struct Matrix {
  double m[2][2];
}Matrix;

Matrix mul(Matrix a, Matrix b) {
  Matrix ret;
  memset(ret.m, 0, sizeof(ret.m));
  for(int i = 0; i < 2; i++) {
    for(int j = 0; j < 2; j++) {
      for(int k = 0; k < 2; k++) {
        if(b.m[j][k] == 0) continue;
        ret.m[i][k] += a.m[i][j] * b.m[j][k];
      }
    }
  }
  return ret;
}

Matrix M(Matrix a, int n) {
  Matrix ret;
  memset(ret.m, 0, sizeof(ret.m));
  ret.m[0][0] = ret.m[1][1] = 1;
  Matrix tmp = a;
  while(n) {
    if(n & 1) {
      ret = mul(ret, tmp);
    }
    n >>= 1;
    tmp = mul(tmp, tmp);
  }
  return ret;
}

const int maxn = 11;
int x[maxn];
int n;
double q;

signed main() {
  // freopen("in", "r", stdin);
  while(cin >> n >> q) {
    for(int i = 0; i < n; i++) cin >> x[i];
    sort(x, x+n);
    Matrix ret;
    double tot = 1.0;
    Matrix p;
    p.m[0][0] = q, p.m[0][1] = 1-q;
    p.m[1][0] = 1, p.m[1][1] = 0;
    ret = M(p, x[0]-1);
    tot *= (1 - ret.m[0][0]);
    for(int i = 1; i < n; i++) {
      if(x[i] == x[i-1]) continue;
      ret = M(p, x[i]-x[i-1]-1);
      tot *= (1 - ret.m[0][0]);
    }
    printf("%.7f\n", tot);
  }
  return 0;
}